Nell'attesa di reiniziare a mettere mani a Q2do ripassiamo un po' di teoria. Per iniziare dovremo definire gli elementi dimensionali su chi andremo ad operare.
Possiamo schematizzare il movimento del quadricottero all'interno di un frame costituito dai tre assi z , x , y .
L'orientamento di questo frame è definito dal suolo con la forza di gravità che opera sull'asse -z , mentre il posizionamento del nostro quadricottero verrà definito con l'interazione degli assi x , y (questa posizione viene influenzata direttamente dalla forza di trazione dei motori elettrici).
Prima di approfondire la fisica del movimento del quadricottero, cerchiamo di formalizzare la cinematica delle forze distribuite nel nostro frame delle inerzie. Le equazioni che definiscono la posizione e la velocità del quadricottero all'interno del frame delle inerzie sono:
Allo stesso modo possiamo definire i movimenti angolari di rotazione, beccheggio e torsione con la formula e la relativa equazione angolare:
Dobbiamo comunque sottolineare come il vettore della velocità angolare ω ≠ θ e sia sviluppato lungo l'asse di rotazione, mentre θ è solo la derivata temporale di torsione, beccheggio e rotazione; per convertire queste velocità angolari nel vettore forza della velocità, possiamo utilizzare la seguente relazione:
dove ω è il vettore della velocità angolare nel frame del quadricottero. A questo punto possiamo relazionare il movimento inerziale del frame alla matrice di rotazione R che descrive quindi il movimento del quadricottero. Questa matrice è ottenuta sviluppando le formule dell'angolo ZYZ di Eulero e ci permette di scomporre le forze vettoriali che ci serve ricercare:
Per un dato vettore V del quadricottero all'interno del frame, la corrispondente rotazione inerziale nel telaio è data da RV.
Per modellare correttamente la dinamica del sistema, occorre comprendere le proprietà fisiche che lo governano. Si inizia con la descrizione dei motori utilizzati per il nostro quadricottero, e quindi utilizzare le considerazioni energetiche per calcolare le forze e le spinte che questi motori sviluppano sul quadricottero. Tutti i motori sul quadricottero sono identici, così possiamo semplificare il calcolo ed analizzare un solo motore e generalizzare il risultato sui tre motori rimanenti. Da ricordare tuttavia che le eliche adiacenti hanno senso di rotazione opposto; se un'elica gira "in senso orario", l'adiacente girerà "in senso antiorario", in modo che le coppie sono bilanciate a patto che consideriamo che tutte le eliche siano uguali e girino alla stessa velocità.
dove T è la coppia motrici, I è la corrente assorbita dal motore, I0 è la corrente assorbita quando il motore lavora senza carico e Kt è una costante proporzionale di coppia. La tensione ai capi del motore è la somma della forza controelettromotrice e una certa perdita resistiva:
dove V è la tensione elettrica, Rm è la resistenza elettrica degli avvolgimenti del motore, ω è la velocità angolare del motore e Kυ è una costante proporzionale (che indica la forza controelettromotrice generata per RPM). Da questa definizione si può quindi risalire al calcolo della potenza consumata tramite l'equazione:
Possiamo schematizzare il movimento del quadricottero all'interno di un frame costituito dai tre assi z , x , y .
L'orientamento di questo frame è definito dal suolo con la forza di gravità che opera sull'asse -z , mentre il posizionamento del nostro quadricottero verrà definito con l'interazione degli assi x , y (questa posizione viene influenzata direttamente dalla forza di trazione dei motori elettrici).
Prima di approfondire la fisica del movimento del quadricottero, cerchiamo di formalizzare la cinematica delle forze distribuite nel nostro frame delle inerzie. Le equazioni che definiscono la posizione e la velocità del quadricottero all'interno del frame delle inerzie sono:
Allo stesso modo possiamo definire i movimenti angolari di rotazione, beccheggio e torsione con la formula e la relativa equazione angolare:
Dobbiamo comunque sottolineare come il vettore della velocità angolare ω ≠ θ e sia sviluppato lungo l'asse di rotazione, mentre θ è solo la derivata temporale di torsione, beccheggio e rotazione; per convertire queste velocità angolari nel vettore forza della velocità, possiamo utilizzare la seguente relazione:
dove ω è il vettore della velocità angolare nel frame del quadricottero. A questo punto possiamo relazionare il movimento inerziale del frame alla matrice di rotazione R che descrive quindi il movimento del quadricottero. Questa matrice è ottenuta sviluppando le formule dell'angolo ZYZ di Eulero e ci permette di scomporre le forze vettoriali che ci serve ricercare:
Per un dato vettore V del quadricottero all'interno del frame, la corrispondente rotazione inerziale nel telaio è data da RV.
Per modellare correttamente la dinamica del sistema, occorre comprendere le proprietà fisiche che lo governano. Si inizia con la descrizione dei motori utilizzati per il nostro quadricottero, e quindi utilizzare le considerazioni energetiche per calcolare le forze e le spinte che questi motori sviluppano sul quadricottero. Tutti i motori sul quadricottero sono identici, così possiamo semplificare il calcolo ed analizzare un solo motore e generalizzare il risultato sui tre motori rimanenti. Da ricordare tuttavia che le eliche adiacenti hanno senso di rotazione opposto; se un'elica gira "in senso orario", l'adiacente girerà "in senso antiorario", in modo che le coppie sono bilanciate a patto che consideriamo che tutte le eliche siano uguali e girino alla stessa velocità.
MOTORI
I motori generalmente impiegati nella realizzazione di un quadricottero sono di tipo brushless:Il motore brushless ("senza spazzole") è un motore elettrico a corrente continua con il rotore a magneti permanenti e lo statore a campo magnetico ruotante. A differenza di un motore a spazzole non ha quindi bisogno di contatti elettrici striscianti (spazzole) sull'albero motore per funzionare. La commutazione della corrente circolante negli avvolgimenti dello statore, e quindi la variazione dell'orientamento del campo magnetico da essi generato, avviene elettronicamente. Ciò comporta una minore resistenza meccanica, elimina la possibilità che si formino scintille al crescere della velocità di rotazione, e riduce notevolmente la necessità di manutenzione periodica.La prima grandezza fisica da analizzare è la coppia generata dai nostri motori, la coppia prodotta viene calcolata con la seguente equazione:
dove V è la tensione elettrica, Rm è la resistenza elettrica degli avvolgimenti del motore, ω è la velocità angolare del motore e Kυ è una costante proporzionale (che indica la forza controelettromotrice generata per RPM). Da questa definizione si può quindi risalire al calcolo della potenza consumata tramite l'equazione:
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